Sivut

keskiviikko 29. toukokuuta 2013

Kellyn kaava

Kuvassa Mr. Kelly
Paljonko allokoida salkusta kuhunkin sijoituskohteeseen? Portfolioteoria kertoo, että salkussa tulisi olla mahdollisimman vähän keskenään korreloivia kohteita niin paljon, että epäsystemaattinen riski saadaan hajautettua pois.  Tällöin salkku toisaalta lähestyy tuotoiltaan passiivista indeksisijoittamista, joka ei tietenkään ole aktiivisen salkunhoidon tarkoitus. Kysymys kuuluukin kuinka painottaa mitäkin kohdetta aktiivisessa salkunhoidossa? Kelly criterion, tai vapaasti suomennettuna Kellyn kaava voi olla tässä sijoittajalle oiva apuväline.

Kellyn kriteeri/kaava/veto on todennäköisyyslaskennassa käytetty kaava, jolla pystytään määrittämään voiton maksimoiva panos vetoon kun vedonlyöntikertoja on monia. Kaava myös huomioi vedonlyöjän kassan rajallisuuden.



Kaavan yksinkertainen versio menee seuraavasti:

Kelly % = [p(b+1)-1] / b, tai vaihtoehtoisesti = (bp-q) / b, jossa


Kelly % = osuus kassasta joka tulisi lyödä/sijoittaa

p = voiton todennäköisyys

b = "oddsit" eli paljonko rahaa saa, mikäli voittaa. Esimerkiksi jos upside on 100 %, on b=2 (voitto+panos)

q =(1-p), eli todennäköisyys häviölle

(Ohessa hyvä kooste todistuksineen)

Esimerkki:

Tiedät osakkeen nousevan 50 % (b = 0.5 ("upside") + 1 (alkuperäinen panos) = 1.5).  Osake nousee 80 %  todennäköisyydellä. On kuitenkin mahdollista, että häviät kaiken ja tämän todennäköisyys on 20%.  Odotusarvon maksimoiva srategia olisi sijoittaa kaikki, sillä vedon odotusarvo on reilusti positiivinen (oletetaan myös että kaikki vaihtoehtoiskustannukset ovat huonompia). Kellyn kaava kuitenkin huomioi, että todellisuudessa sijoittajalla on rajallinen määrä kassaa. Silloin kaiken lyöminen ei itseasiassa ole sijoittajan hyötyä maksimoiva, sillä niukkuuden vallitsessa sijoittajallamme ei ole rajatonta varallisuutta. Kellyn kaava maksimoi logaritmista hyötyfunkiota (enemmän rahaa > vähemmän rahaa), joten sillä saadaan sijoittajan/pelaajan hyödyn maksimoiva panos vedolle. 

Kellyn kaavalla saadaan tulokseksi [ (0.8*(1.5+1)-1)]/1.5 = 66.6 %. Hyötyä maksimoiva strategia on siten sijoittaa 66.6 % varallisuudesta kyseiseen kohteeseen.


Kunpa kaikki olisikin näin helppoa...

Kellyn kaava ei sellaisenaan ole sijoittajalle hyödyllinen muutamasta syystä, jotka tarkkaavainen lukija mahdollisesti huomasikin.

  • Voiton todennäköisyyden määrittäminen on sijoittamisessa parhaimmillaankin vain valistunut arvaus ja se myös vaikuttaa Kellyn kaavaan huomattavasti. Esimerkiksi ylemmän esimerkin todennäköisyyden tiputtaminen 80 % -> 60 % laskee tuloksen  33.3 prosenttiin. Yksi mahdollinen keino määrittää todennäköisyys on esimerkiksi laskea omasta kaupankäyntihistoriasta onnistuneiden kauppojen suhdetta kaikista kaupoista, tai vain heittää "valistunut arvaus" sijoitustilanteesta. Todennäköisyys on kuitenkin syytä pitää erittäin konservatiivisena. Ei liene täysipäistä sijoittaa 66.6 % yhteen osakkeeseen, ellei kyseessä sitten ole hyvin poikkeuksellinen tilanne. Silloinkin mahdollinen "tail event" pyyhkisi ison osan pääomasta äkkiä. Siten käyttämäni 80% todennäköisyys on osakkeista puhuttaessa aivan liian optimistinen.
  • Sijoittajan ei ole mahdollista määrittää "oddseja" tarkasti. Ne ovat pakostikin vain sijoittajan analyysinsä pohjalta antama arvio voiton määrästä (fair valuen ja market valuen erotus). Lisäksi sijoittajan kohdalla tilanne ei ole binäärinen, (voitto tai häviö) vaan epäselvä lopputulema on hyvinkin todennäköinen. (Tähän tosin löytyy esim. Ed Thorpin artikkelista myös jatkuva versio, jossa tämä ongelma on huomioitu)
  • Kellyn kaava vaatii, että vedot ovat ovat toisistaan riippumattomia. Osakemarkkinoillahan näin ei ole, vaan assetit ovat usein hyvin korreloituneita keskenään. Tätä Kellyn kaava ei huomioi.
  • Kellyn kaavan käyttäminen sellaisenaan on HYVIN volatiili strategia. Tämä yhdistettynä epävarmoihin todennäköisyyksiin tekee puhtaan Kellyn käyttämisestä uhkarohkeaa.
Siten itse jättäisin puhtaan kaavan lehmänhermoisille vedonlyöjille/pokerinpelaajille/kortinlaskijoille.

Onko siitä mitään hyötyä sijoittajalle?

Mielestäni kaava voi kuitenkin olla hyvä lisä arvosijoittajan työkalupakkiin. Siihen voi nimittäin tehdä kaikenlaisia ad hoc -modifikaatioita. Yksi on esimerkiksi kylmästi puolittaa kellyn veto, tai jopa käyttää vain 1/3 kelly määrästä. Tämä ei nimittäin vaikuta vedon optimaallisuuteen yhtä rankasti kuin kaavan tuloksen ylittäminen, jolloin tulokset heittävät hyvin äkkiä häränpyllyä (kuva). Lisäksi vedon puolittaminen laskee volatiliteettia ja pidentää yöunia.

kuva: http://www.capitalideasonline.com/articles/index.php?id=2390
Toinen mielestäni erittäin hyvä idea, jonka bongasin täältä,  on lisätä oman analyysin epävarmuustekijä, joka automaattisesti pienentää oddseja, jos itse kokee että yritys oli vaikea analysoida. Äärisyklisen konepajan ja Wal-Martin kehityksen ennustaminen on melko erilaista. Lisäksi sijoittajan on syytä vähentää sijoituksen vaihtoehtoiskustannus, esimerkiksi valtion velkakirjojen tuotto kertoen se sijoituksen pitoajalla. Sijoittajan on myös hyvä asettaa jokin yläraja yksittäisille positioille, jota ei ylitä, vaikka Kelly niin kehottaisikin. Tähän yksi hyvä syy on juurikin epätodennäköisten tapahtumien mahdollisuus. (osaketuottojen hännät ovat "paksut")


Korrelaatio-ongelma on silti todellinen, enkä oikein löytänyt siihen mitään lääkettä. Yksi ratkaisu on käyttää Kellyä vain sellaisiin kohteisiin, joissa korrelaatio salkun kanssa on pieni, tai vastaavasti pienentää Kelly % ennestään. 

Lopuksi:

Kellyn kaava on siten sijoittajalle enemmän suuntaa antava ohjenuora kuin mikään lopullinen totuus, johtuen sijoittamisen eroista verrattuna tilanteeseen, jossa muuttujat on mahdollista laskea tarkasti ja vedot ovat riippumattomia. Strategia on myös luonnostaan hyvin volatiili, joten riskikorjattua alphaa ei Kellyn kaavalla
välttämättä saavuta. Sijoittajan onkin hyvä muokata kaavaa omiin tarpeisiinsa sopivaksi.

Kuitenkin yksi Kellyn kaavan käyttämisen ehdottomista plussista on se, että se pakottaa laittamaan enemmän rahaa kiinni niihin riski/tuottosuhteeltaan parhaisiin ideoihin. Itse ainakin olen huomannut, että välillä löydettyäni todella houkuttelevan kohteen laitan siihen itseasiassa vähemmän rahaa kiinni kuin keskinkertaisempiin kohteisiin. Sitä helposti ajattelee, että tämä on "liian hyvää" ollakseen totta, tai että omassa analyysissä on jotain pielessä, jolloin suurin osa rahoista päätyykin siihen tuttuun ja turvalliseen keskinkertaiseen osakkeeseen. Kuitenkin, jos taustatyö on tehty kunnolla ja idea vaikuttaa edelleen hyvältä, niin pitäisi uskaltaa myös laittaa rahansa likoon. Sehän koko aktiivisen sijoittamisen idea oikeastaan on. Tässä kaava on oiva apuväline. Wikipedia tietääkin huhuta, että mm. Warren Buffet ja Bill Gross ovat hyödyntäneet tätä simppeliä kaavaa.

Lähteet:

kuva1:http://en.wikipedia.org/wiki/File:JohnLKellyJr.PNG

Ei kommentteja:

Lähetä kommentti